범주형 분석 - 교차표에서 효과를 추정하는 방법

 

 

교차표에서 효과를 추정하는 방법은 아래 3가지가 있다.

교차표를 본다는 것은 범주형으로 이루어진 X,Y 의 변수간의 연관성을 파악하고 싶다는 의미이다. 

 

1) 비율의 차를 이용한 방법

2) 비율의 비를 이용한 방법

3) 오즈비를 이용한 방법 

 

흡연과 폐암의 관계

	폐암 O	폐암 X	전체
흡연	90 (n11)	910 (n12)	1000 (n1)
비흡연	10 (n21)	990 (n22)	1000 (n2)
전체	100	1900	2000

 

 

1) 비율의 차를 이용하는 방법

흡연자중 폐암 비율 = 90/1000 = 0.09

비흡연자중 폐암 비율 = 10/1000 = 0.01 

 

비율의 차 = 0.08 (risk difference)

 

2) 비율의 비를 이용하는 방법

0.09 / 0.01 = 9 (relative risk)

 

3) 오즈비를 이용하는 방법

(90/100) / (10/990) =  9.79 (odds ratio)

또는 p1 / (1-p1) / p2 / (1-p2) = ((90/1000) / (1-90/1000)) / ((10/1000) / (990/1000)) = 9.79 (odds ratio)

 

각 효과 추정 방법의 특징 및 장단점

 

비율의 비와 오즈비는 어떤 treatment의 효과(effect) 를 설명할 때 좋다. 비율의 비는 특히, 설명할 때 좋다. 

- 예를 들면, 어떤 위험인자가 질병에 미치는 영향이 있는지를 설명할 때는 비율의 비를 활용하는 것이 좋다. 

- 흡연의 reltavie risk 가 3이라는 말은 흡연을 하면 폐암 발생 위험을 3배 높인다고 해석할 수 있다. 

 

비율의 차는 전체 모수에서의 impact 를 설명할 때 좋다.

- 어떤 요인 A의 risk difference 는 10% 인데 relative risk 는 2라고 하자.

- 어떤 요인 B 의 risk difference 는 1%인데 relative risk 는 10이라고 하자.

- 이 때, 요인 B 의 effect size는 더 크지만, 실제 요인의 중요도는 A가 더 클 수 있다.  

 

오즈비는 y=1의 비율이 적을 때, 상대위험도와 값이 유사하다. 

- 만약의 y가 폐암과 같이 질병인 경우, P(Y=1) 은 유병률이다. 

- 즉, 유병률이 작은 질병의 경우 오즈비를 relative risk 처럼 해석할 수 있다.  

 

오즈비는 샘플이 불균형하게 추출한 경우에도 사용할 수 있는 지표이다. 

- 비율의 차 또는 비율의 비는 샘플링 바이어스의 영향을 받는다. 

- 만약, 흡연자 100명, 비흡연자100명을 선정해서 폐암여부를 비교할 때 비율의 비(relative risk) 에는 bias 가 생긴다. 이는 모집단에서 계산한 값과 차이가 생긴다는 의미이다. 

- 그러나, 오즈비의 경우 모집단에서의 값과 오즈비와 비교하여 bias 가 없게 된다. 

- 왜 오즈비는 샘플링 영향이 없는지 관련해서는 이 포스팅을 참고할 수 있다. 

 

ratio 에 로그를 취한 값은 유용하다.  

- 비율의 비 또는 오즈비는 매우 skew 된 값이다. 

- ratio는 0에서 무한대의 값을 갖는다.

- ratio 에 log 를 취해주면 -무한대~ +무한대의 값을 갖게 된다. 

- 만약, 어떤 A약의 효과가 B약의 효과보다 1.5배 있다 라는 것을 반대로 말하면 B 약의 효과가 비 약의 효과보다 1/1.5배 = 0.67배 있다라는 것이다. 그러나, 1.5배와 0.67배가 한눈에 역수 관계에 있다는 것을 알기 어렵다. 1.5배는 1로부터 0.5 떨어져 있고, 0.67은 1로부터 0.33 떨어져있다. 만약, 1.5와 0.67에 log를 취해주면, 각각 0.405, -0.405로 나오게 되어, 역관계에 있다는 것을 바로 확인할 수 있다. 

 

효과가 유의미한지 보려면 어떻게 할까? 

-> 신뢰구간을 보고, 이 값이 0을 포함하지 않으면 유의미하다고 판단할 수 있다.

 

비율의 차의 신뢰구간

 

$$ p_1 = n_{11}/n_1 $$

$$ p_2 = n_{21}/n_2 $$

 

p1,p2비율의 차의 standard error (s.e) 는 아래와 같다.  

$$ \sigma = \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} $$

 

따라서 95% 신뢰구간은 1.96*±s.e 이다. 

 

오즈비의 신뢰구간

 

오즈비의 신뢰구간을 구하기 위해서는 로그 오즈비를 통해서 구하는 것이 좋다. 

로그 오즈비의 standard errer (s.e)는 아래와 같다. 

 

$$ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n_{11}} + \frac{1}{n_{12}} + \frac{1}{n_{21}} + \frac{1}{n_{22}} }  $$ 

 

따라서 로그 오즈비의 95% 신뢰구간은 1.96*±s.e이 이며, 이를 오즈비의 신뢰구간으로 변환하기 위해서는 exponential 을 취해주면 된다. 따라서 오즈비의 95% 신뢰구간은 exp(1.96*±s.e) 이다.