윌콕슨 순위합 검정은 두 표본의 중위수를 비교하는데 쓰인다. 모수적 방법에서 이표본 t-test와 같다.

A, B 회사로부터 각각 생산된 계피가루 한 통의 무게를 X,Y라고 하자 n1=8, n2=8로 표본을 추출하였다.

X = {117.1, 121.3, 127.8, 121.9, 117.4, 124.5, 119.5, 115.1}

Y = {123.5, 125.3, 126.5, 127.9, 122.1, 125.6, 129.8, 117.2}

H0 : X의 중위수 = Y의 중위수 vs H1 : X의 중위수 != Y의 중위수

이 때 X, Y가 결합된 표본을 만들고 이 표본을 오름차순으로 정렬해보자.

XY = {115.1, 117.1, 117.2, 117.4, 119.5, 121.3, 121.9, 122.1, 123.5, 124.5, 125.3, 125.6, 126.5, 127.8, 127.9, 129.8}

그리고 Y 값들에 대하여 밑줄을 쳐놓고, 이 Y 값들의 순위를 모두 합쳐보자.

W = 3+8+9+11+12+13+15+16 = 87

이 때 W를 윌콕슨 통계량이라고 한다. 만약 이 W 값이 너무 작거나 너무 크면 H0를 기각할 유의한 증거가 있는 것이다. 그러면 우선 H0하에서 W의 분포를 알아야하는데, W의 정확한 분포를 알기는 매우 힘드므로 중심극한 정리를 이용한다.

우리가 알 수 있는 것은 E[W] = n2(n1+n2+1)/2, V[W] = n1n2(n1+n2+1)/12 이다. 그러므로 중심극한정리를 이용하여

W ~ N(n2(n1+n2+1)/2, n1n2(n1+n2+1)/12)

n1=8, n2=8을 이용하여 평균과 분산을 각각 구하면, 68, 90.66 이다.

위에서 구한 W 값을 표준화 시키면,

z = (87-68)/sqrt(90.66) = 1.99

양측검정에서 기각역은 z > 1.96 or z < -1.96이므로 H0를 기각한다.

Wilcoxon Signed Rank Test는 일표본에 대하여 중위수를 검정하는데에 쓰인다. 또는 paired 된 데이터의 중위수의 차이가 있는지를 검정하는데 쓰인다. 모수적 방법에서 일표본 t-test와 같은 목적으로 쓰인다.

표본이 176.9, 158.3, 152.1, 158.8, 172.4, 169.8, 159.7, 162.7, 156.6, 174.5, 184,4, 165.2, 147,8, 177.8, 160.1, 160.5 라고 하자.

H0 : 중위수 = 160 vs H1 : 중위수 != 160 를 검정하도록 해보자.

우선 | Xi - 160 | 을 오름차순으로 차례대로 줄 세운다.

0.1, 0.3, 0.5, 1.2, 1.7, 2.7, 3.4, 5.2, 7.9, 9.8, 12.2, 12.4, 14.5, 16.9, 17.8, 24.4

그러고 나서, Xi-160 < 0 인 데이터에 대해서는 표시를 해놓는다. 그리고 부호순위를 모두 더한다. 밑줄친 부분에 대한 순위는 음수로 계산한다.

W = 1-2+3-4-5+6-7+8-9+10-11+12+13+14+15+16 = 60

만약 W의 값이 너무 크거나 너무 작으면 중위수가 160이라는 귀무가설을 기각하게 된다. 그러면 그 값이 유의하게 큰지 작은지는 어떻게 알 수 있을까? 이를 위해선 우선 H0하에서 W의 분포를 알아야한다. 하지만 실제로 W의 분포를 알기는 매우 어렵고 복잡하다. 이 때 우리가 알 수 있는 것은 W통계량의 평균은 0, 분산은 n(n+1)(2n+1)/6 이라는 것이다. (H0하에서 중위수의 성질을 이용해 평균과 분산을 구할 수 있다.) 이 값들로 중심극한정리를 사용하여 W의 분포를 정규분포로 근사시킨다. 이렇게 할 수 있는 이유는 W가 어떠한 분포를 갖는 값들의 합이기 때문이다. 예를 들어, 이 경우에 H0하에서 위 식의 첫번째 term은 1/2 확률로 1, 1/2 확률로 -1/2 이다. 두 번째 term은 1/2확률로 2, 1/2 확률로 -2이다. 이 값들을 모두 합친 W 통계량은 종모양의 분포가 나올 것이다. 그러므로 중심극한 정리를 적용시킬 수 있다.

n=16이므로, W를 표준화 시키면 Z = 60-0/sqrt((16)(17)(33/6)) = 1.525 이다.

양쪽 검정이므로 유의수준 0.05에서 기각역은 Z>1.96 or Z<-1.96이다. 계산한 z값이 기각역에 포함되지 않으므로 중위수가 160이 아니라는 유의한 증거가 없으므로 H0를 기각하지 못한다. 또한 p-value = 2*P[z > 1.525] 이다.

비모수 통계학이란 모집단의 분포를 가정하지 않고, 오직 데이터를 통해서만 데이터를 검정하는 방법을 의미한다. 비모수 통계학은 영어로 non-parametric statistics라 하고, distribution-free 방법이라고도 말한다.

모수적 방법에서 t-test의 예를 들어보면, 기본 가정중의 하나가 바로 모집단의 "정규성" 이다. 모집단이 정규분포가 아니라면 t-test의 신뢰도는 낮아지게 된다. 그러므로 보통 비모수 방법을 사용하는 이유가 바로 모수적 방법에서의 가정이 만족하지 않을 때이다. t-test의 경우에는 모집단에 대하여 정규성 검정을 수행한 후 정규분포가 아니라는 근거가 있을 때는 비모수적 방법을 사용하면 된다.

비모수 통계학의 장점은 아래와 같은 것들이 있다.

1. 모집단의 분포가 어떻든지 사용할 수 있다.
2. 모수적 방법에 비해 계산이 간단하며, 적용하기 쉽다.
3. 관측값에 신뢰성이 적어 단순히 순위를 통해 검정하고 싶을 때 이용하면 좋다.

반면 비모수적 방법은 아래와 같은 단점이 있다.

1. 모수적 방법으로 검정할 수 있는 데이터에 비모수적 방법을 이용하면, 효율성이 떨어진다.
2. 표본의 크기가 커질 수록 비모수적 방법의 계산량은 빠르게 늘어난다.

회귀분석의 가정

회귀분석에는 데이터에 대하여 어떠한 가정을 합니다. 그 가정하에서만 회귀분석은 유효하다고 할 수 있습니다. 가정이 틀리면 아무리 분석을 하더라도 그것이 타당하지 않게 되는 것입니다.

회귀분석의 가정에는 아래와 같은 것들이 있습니다.

1. 독립변수 X는 사전에 주어진 값으로 간주한다. 즉 독립변수는 미리 결정된 값이거나 고정된 값이다. 이를 비확률변수라고 한다.

2. 독립변수 X는 측정오차가 없다고 가정한다.

3. 독립변수 X 별로 Y의 부분모집단이 존재한다고 가정한다. 예를 들어 X=1일 때 Y의 부분모집단이 존재하며 이 부분모집단은 정규분포를 따른다.

4. Y의 부분모집단의 분산은 같고 이를 라고 한다. (등분산성)

5. Y의 부분모집단의 모평균은 일직선상에 있다. 이를 선형성의 가정이라고 한다.

6. Y는 서로 독립이다. 즉 e ~ N(0,) 라고 정리할 수 있다. (독립성)

직접 표준화

• 비교하고자하는 집단의 연령별 측도(발생률, 유병률, 사망률 등)는 알려져있지만, 표준화된 인구에서는 어떨지 알아보고 싶을 때 사용한다.
• 표준화된 인구 구조가 미리 정해져있어야한다. 
• 표준화된 인구 구조를 정하는 방법에도 여러가지가 있는데, 한국이면 주로 한국 표준 인구를 사용한다. 또는 세계인구를 사용할 수도 있다.

방법 )

1. A집단과 B집단의 연령별 사망률을 알아보고자 할 때, 두 집단 별로 사망률을 표준 인구에 대입시켜 표준 인구에서의 연령별 기대 빈도수를 계산한다.

2. 연령별 기대 빈도수를 모두 합한 후, 표준 집단의 총 인구수로 나누어 표준화율을 구한다.

3. 두 집단의 표준화율을 비교하여 어떤 집단의 사망률이 더 높은지를 판단한다.

간접 표준화

• 간접 표준화의 경우, 특히 어떤 집단의 발생률, 사망률 등이 표준 집단에 비해 높은지, 낮은지를 판단하기 위해서 사용한다.
• 또는 두 집단의 발생률, 사망률 등을 비교할 때도 쓰인다.
• 간접 표준화 방법은 실제 관찰된 사건 수와 기대사건 수를 비교하는 방법이다.
• (실제 관찰된 사건 수) / (기대사건수) = SIR (또는 사망률일 경우 SMR) 이라고 한다.
• SIR = Standardized Incidence Ratio, SMR = Standardized Mortality Ratio 의 약자이다.
• 만약 어떤 집단의 발생률이 표준 집단에 비해 높은 경우 SIR > 1일 것이고, 낮은 경우 SIR < 1 일 것이다.
• 이 SIR에 표준화 발생률을 곱하면 간접 표준화 발생률이 된다.
• 즉, 간접표준화발생률 = SIR * 표준화발생률

• 특정 집단의 전체 율만 아는 경우
• 연령별 율의 신뢰도가 적은 경우
• 사망자수나 발생자 수가 워낙 적어 값이 불안정한 경우

Relative Risk 와 Odds Ratio의 정의

Relative Risk는 Risk Ratio 라고도 부르며 줄여서 RR 이라고 부르기도 합니다. 이름에서 알 수 있듯 RR은 Risk의 '비' 를 뜻합니다. 예를 들어, 위 표에서 smoker의 disease에 대한 Risk는 20/100 = 0.2 입니다. 즉 smoker인 경우 질병에 걸릴 확률이 0.2라는 것입니다. 반면 non-smoker의 disease에 대한 Risk는 5/100 = 0.05 입니다. 따라서 smoking의 disease에 대한 Relative Risk는 0.2/0.05 = 4 라고 할 수 있습니다. 이를 식으로 표현하면 (a/a+b)/(c/c+d) 입니다. Relative Risk는 직관적입니다. 담배를 폈을 경우 4배 더 질병에 걸릴 확률이 높다. 라고 직관적으로 해석할 수 있습니다. 

odds ratio는 OR 이라고 부르며 odds의 '비율' 입니다. 따라서 odds ratio를 알기 전에 우선 odds가 무엇인지 알아야합니다. odds는 실패와 성공의 비입니다. 위의 경우에는 smoker의 질병에 대한 odds는  20/80 = 0.25 이고 non-smoker의 질병에 대한 odds는 5/95 = 0.052 입니다. 따라서 odds ratio는 0.25/0.052 는 약 4.8입니다. 이를 수식으로 표현하면 (a/b)/(c/d) = 4.8 입니다. 값을 구하는건 구하는 건데 odds ratio는 직관적으로 해석하기 어렵습니다.

왜 Odds Ratio를 쓸까?

위와 같은 상황 (어떠한 처리군들 간에 질병에 대한 비교를 할 경우) RR을 써도 OR을 써도 상관없습니다. 하지만 중요한 것은 case-control study에서는 relative risk를 쓸 수 없습니다. 즉, case-control study에서는 OR만 씁니다.

Case Control Study란 무엇인가?

Case Control Study는 사례대조연구라고 하는데 우선 네이버 백과에서 정의를 살펴보겠습니다.

연구대상군의 특성을 명확히 하고 그 기본적 구조를 명백히 하기 위해 몇가지 요인을 조절한 대상군 control을 골라 제각기 거기에 대해서 동일내용 및 방법으로 조사ㆍ연구를 하는 일종의 비교연구 법이다. [네이버 백과]

말이 어렵게 되어있는데 예를 들어 다음과 같은 상황입니다. 위에서는 smoker 100명, non-smoker 100명을 뽑아서 이들간에 질병의 발생률을 비교했죠. 하지만 아래와 같은 경우에는 병에 걸린사람 100명, 병에 걸리지 않은 사람 100명을 뽑았습니다.  (위에서 병에 걸린 사람의 smoker와 non-smoker의 비가 4:1으므로 여기서도 4:1 정도일 것입니다.) 이렇게 환자군과 대조군을 뽑아서 비교하는 것을 case-control study라고 합니다. 질병의 발생률이 매우 낮은 경우에는 이러한 study가 위와 같은 코호트 연구보다 좋습니다. 

이 경우 smoker의 risk를 구해보면 80/125입니다. 그대로 해석하면 약 65%의 환자가 흡연자가 병에 걸린다는 것입니다. 이는 모순입니다. 왜냐하면 병에 걸린 사람 100명, 병에 걸리지 않은 사람을 100명을 대상으로 RR을 계산한 것이니 병에 걸릴 위험율이 높게 나올 수 밖에 없겠죠. 실제로 RR을 구하면 (80/125) / (20/75) = 2.4 입니다. 샘플이 바뀌면, RR도 바뀐다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 이러한 경우에는 RR을 쓸 수 없습니다. 하지만 case-control study에서 OR은 유효합니다. (80/45)/(20/55) = 약 4.91이 나옵니다. 따라서 OR이 RR 보다 더욱 범용적이라고 할 수 있습니다. 

또한 OR은 RR의 근사치로 사용되기도 합니다. OR = (a/b)/(c/d)이고 RR = (a/(a+b))/(c/(c+d)) 입니다. 따라서 a, c가 매우 작은 값이라면 OR을 RR에 근사시킬 수 있습니다. 그러므로 이러한 근사를 사용하면 위와 같은 case-control study에서도 OR을 근사해 RR을 알아볼 수 있는 것입니다.