R - aggregate / separate_rows

데이터 처리 도중, 특정 key 를 기준으로, 문자를 리스트형태로 바꾸고 싶을 때가 있다. 

이 때, R 에서 사용할 수 있는 함수가 aggregate 와 separate_rows 이다. 

(hive 에서는 collect_set 과 explode 함수가 비슷한 기능을 함)

왼쪽 테이블 -> 오른쪽 테이블로: separate_rows

오른쪽 테이블 -> 왼쪽 테이블로: aggregate

library(tidyverse)
df <- data.frame(Family_ID = 1:2,
  name = c("Smith, John", "Walker, Mike"),
  stringsAsFactors = FALSE)
  
df2 <- df %>% separate_rows(name)
df2
#   Family_ID name  
#      1 Smith 
#      1 John  
#      2 Walker
#      2 Mike  

df3 <- aggregate(name ~ Family_ID, df2, toString)
df3
#  Family_ID name
#      1  Smith, John
#      2 Walker, Mike

R - 난수 생성을 일별로 변경하기

R 에서 난수를 생성 또는 랜덤 샘플링 작업의 결과가 일별로 바뀌도록 하고 싶을 때가 있다. 

방법은 간단하게 일별로 random seed 를 동일하게 맞춰주면 된다. 

특정 날짜 '01/06/2022' 를 integer 형으로 변환하면 일별로 동일한 숫자가 나오도록 구현할 수 있다. 

library(tidyverse)
dayYear <- as.Date(Sys.Date(),format='%d/%m/%Y') %>% lubridate::yday() %>% as.integer()
set.seed(dayYear)

sample(nrow(10)) # 같은 날에는 동일한 순서의 숫자 10개가 나온다.

주의할점은 값이 정수를 갖도록 as.integer 함수를 통해 변환해주어야한다.

(만약 double 인 경우, 실제 시드는 매번 달라진다. 이는 컴퓨터가 double 형을 메모리에 저장하는 방식 때문일듯하다.)

언제할까?

최근 다양한 도메인에서 머신러닝이 활용되고 있다. 머신러닝의 문제점은 training data 가 필요하다는 것이다. 

현실에서는 label 이 있는 데이터를 수집하기 어렵거나 높은 비용이 요구되는 상황이 많다.

semi-supervised learning 이러한 상황에서 전체 데이터의 일부에만 label 이 있을 때 사용한다.

왜할까?

semi-supervised learning 의 핵심 과정 중 하나는 unlabled data 를 labled data 로 변환하는 것이다. (이를 pseudo-labeling 이라고 한다.) 그런데, 전체 데이터의 일부에 lable 이 있다고 하면, 그 데이터를 training 데이터로 모델을 만들면 안 되는가?

위 그림을 보면, 소수의 labeled data 로 만든 decision boundary 보다 unlabled data 를 사용한 것이 더 세밀하다는 것을 직관적으로 알 수 있다. 즉, 더 많은 데이터들에 대한 generalization 이 잘 된다는 것이다. 

semi-supervised learning 의 이점

• labled data 와 unlabled data 를 combine 하는 것은 accuracy 를 상승시킨다. (may be due to generalization)
• unlabled data 를 획득하는 것은 상대적으로 cheap 하다. -> 잘만 되면 더 비용효율적이다. 

semi-supervised learning 의 가정

1) Continuity / smoothness assumption

"다차원 공간 상에서 가까운 거리에 있는 샘플들은 labeld 이 아마 같을 것이다." 라는 가정이다. 이는 지도학습에서도 마찬가지로 있는 가정이다. 다만 semi-supervised learning 에서는 가까운 거리에 있는 샘플들은 예외 없이 같은 label 이 된다. 라는 점이 다르다. 

2) Cluster assumption

"데이터는 클러스터를 형성할 것이며, 같은 클러스터에 속한 샘플은 같은 label 을 공유할 가능성이 높다"라는 가정이다. (같은 label 을 가진 샘플들이 다양한 클러스터에 존재할 수는 있다.) 이는 clustering 알고리즘에서의 smoothness assumption 으로 볼 수 있다. 

3) Manifold assumption

"고차원 공간의 데이터를 저차원 공간에 표현할 수 있다." 라는 가정이다. 이는 모델링에서는 당연한 가정이라고 볼 수 있다. 예를 들어, 수많은 피쳐 x 를 통해 하나의 y를 예측하는 과정이니 말이다. manifold assumption 성립하지 않으면 예측이 불가능하다고 볼 수 있다. 

pseudo-labeling

labeled data 를 통해 unlabled data 를 labled data 로 변환하는 것을 말한다. 

Active Learning

labeled data 를 주어진대로만 사용하지 않고, 재구성하는 전략을 말한다. 

가장 성능을 높이는데 효과적인 샘플 (labeled or unlabeld) 에 대해 labeling 을 수행하는 전략이다.  

• supervised learning 에서 학습이 잘되는 일부 labeling data 만 사용할 수 있다.
• semi-supervised learning 에서 pseudo-labeling 하는 것도 active learning 의 일종이다. 

Margin sampling

margin sampling 은 active learning 의 예시로 decision boundary 를 효율적으로 찾는 방법중 하나로 가장 애매한 (uncertain) 샘플을 labeled data 로 변환해 나가면서 decision boundary 를 업데이트 해나가는 방법이다. 아래와 같이 random 하게 업데이트 하는 것보다 빠르게 클래스를 잘 분류할 수 있는 boundary 를 찾을 수 있다. 

Weak supervision

ground truth label 이 없을 때, subject matter expert (SME) 가 휴리스틱한 방법으로 labeling 하는 것을 말한다.

만약 이 방법으로 어떤 샘플이 A 레이블에 할당되었다고 하더라도, 실제로는 A 레이블이 아닐 가능성을 갖고 있다. 

이를 noisy label 이라고 한다. 

Snorkel 

스탠포드에서 2016년에 개발되었다. manual labeling 을 줄이는 방법으로 training data 를 구축하기위한 라이브러리이다. snokel 은 weak supervision 상황을 해결하는 것을 돕는다. 

semi-supervised learning 의 분야

semi-supervised learning 의 핵심과정인 pseudo-labeling 을 어떻게 수행할 것인가? 

단순히 model prediction 을 통해  pseudo-labeling 을 하는 것보다 성능이 좋은 다양한 방법론들이 존재한다. 

위 분류에서는 semi-supervised learning 을 크게 transductive 와 inductive로 나눈다. [1]

ㄴ transductive 와 inductive 의 차이를 데이터 과점에서 본 포스팅 (link)

참고자료 [2] 에서는 1) graph-based 방법과 2) consistency-based 방법으로 나누기도했다. Graph-based method은 대표적으로 Label propagation 방법이 있다. consitency-based method 는 최근 각광받고 있는 방법으로 Mixmatch 를 예로 들 수 있다. 

참고자료

[1] Van Engelen, Jesper E., and Holger H. Hoos. "A survey on semi-supervised learning." Machine Learning 109.2 (2020): 373-440

[2] https://www.youtube.com/watch?v=coezwQw6my0 

아나콘다 설치 이후 프로세스

ㄴ 파이썬 3.8 버전 설치 가정

1. python3.8 가상환경 생성

conda create -n py38 python=3.8

2. 가상환경 활성화

source activate py38

3. ipykernel 설치

pip install ipykernel

4. 가상환경을 ipykernel 에 등록

python -m ipykernel install --user --name py38 --display-name py38

5. 주피터 노트북 or 주피터랩 실행

conda install jupyter
jupyter lab

Autoregressive Processes

Autoregressive process 란 history 가 현재 값에 직접적인 영향을 주는 time series 를 말한다. 식으로 표현하면 아래와 같다. 

현재시점 (t) 의 값은 과거 시점들 (t-1 ~ t-p) 의 값을 가중치를 두고 합한 값에 error term (Z) 을 더한 값이다. 

$$ X_t = Z_t + \phi_1(X_{t-1})  + \phi_2(X_{t-2}) ... + \phi_p(X_{t-p}) $$

Example

p=2 이고, 가중치가 0.7, 0.2 인 autoregressive process 는 아래와 같다.

$$ X_t = Z_t + 0.7X_{t-1} + 0.2X_{t-2} $$

이를 R 코드로 구현하면 아래와 같다. 선차트를 통해 보면 현재 값이 과거 값과 높은 상관성이 있다는것을 확인할 수 있다. correlogram 을 통해 가까운 시간에 측정된 값이 현재값과 더 높은 상관성이 있다는것을 확인할 수 있다. (가중치가 0.7, 0.2 이므로)

set.seed(2017)
X.ts <- arima.sim(list(ar=c(0.7,0.2)), n=1000)
par(mfrow=c(2,1))
plot(X.ts, main="AR(2) Time series, phi1=0.7, phi2=0.2")


X.acf <- acf(X.ts, main="Autocorrelation of AR(2) Time series")
X.acf

Moving average process 와의 관계 

Autoregressive process 는 moving average process 의 무한 수열로 나타낼 수 있다. 

차수 (p) 가 1인 AR 을 생각해보자.

아래와 같이 식을 쓸 수 있다. (Z는 평균이 0, 분산이 sigma^2 을 따른다고 가정하고, phi 를 theta 로 치환하자.) 

$$ X_t = Z_t + \phi X_{t-1} = Z_t + \phi Z_{t-1} + \phi^2 X_{t-2} ... = Z_t + \theta_1 Z_{t-1} + \theta_2 X_{t-2} ... $$

AR (1) 의 통계량

위와 같이 식을 써서 moving average 처럼 표현하면 AR process 에서의 X(t) 의 기댓값과 분산을 쉽게 구해볼 수 있다. 

$$ E(X_t) = 0 $$

$$ V(X_t) = \sigma^2 \sum^{\infty}_{i=0}\theta_i^2  $$ 

time series 가 stationarity 를 만족하기 위해서는 분산이 t 에따라 바뀌지 않고, 일정해야한다. 그렇기 때문에 phi 의 절댓값이 1보다 작은것은 stationarity 에 대한 필요 조건이라고 할 수 있다. 

AR(1) 의 auto covariance function 

MA process 의 acf 와 유사한 형태라는것을 확인할 수 있다. (link)

$$ \gamma(k) = \sigma^2 \sum^{\infty}_{i=0} \theta_i \theta_{i+k} $$ 

AR(1) 의 auto correlation coefficient 

$$ \rho(k) = \frac{\sum^{\infty}_{i=0} \theta_i \theta_{i+k}}{\sum^{\infty}_{i=0} \theta_i \theta_i} $$ 

theta 를 phi 로 치환하여 AR(1) 의 auto covariance 와 auto covariance coefficient 를 구해보자. (무한등비수열 공식 사용하여 정리) 

$$ \gamma(k) = \sigma^2 \frac{\phi^k}{1-\phi^2} $$

$$ \rho(k) = \phi^k $$

AR Process 의 Stationarity 를 확인하는 방법

Example: AR(1) process

$$ X_t = Z_t + \phi X_{t-1} $$ 

위 AR(1) process 에서 Z 를 제외한 나머지 텀들을 한쪽으로 옮겨서 아래와 같은 식을 만들 수 있다.

$$ \phi(B) = 1-\phi B $$ 

이 때, 우변을 0으로 만드는 B 의 해를 찾는다. 해는 B = 1/phi 이다. B 의 해가 단위원 (unit circle) 바깥에 있는 것이  stationarity 를 만족하기 위한 조건이 된다. 따라서 AR(1) 모델에서는 phi 의 절댓값이 1 미만이어야 stationarity 를 만족한다. 

Example: AR(2) process 

$$ X_t = \frac{1}{3} X_{t-1} + \frac{1}{2} X_{t-2} + Z_t $$

$$ \phi(B) = 1-\frac{1}{3} B-\frac{1}{2} B^2 $$

위 식에서 B 의 해를 찾으면 (-2+sqrt(76))/6, (-2-sqrt(76))/6 이 된다. 위 두 값이 모두 단위원 바깥에 있기 때문에 위 AR(2) process 는 stationarity 를 만족한다. 

Week stationarity

이전 포스팅에서 개념을 직관적으로 소개하였다. 이번엔 좀 더 포멀한 정의와 함께 예시를 통해 설명해보려고한다.

아래 조건을 만족할 때 weekly stationary 라고 부른다. 

1) 시간에 따른 평균이 같다. 

$$ \mu(t) = \mu  $$ 

2) Auto covariance function 이 time spacing 에만 의존한다. (t2=t1+tau 라고 생각하면 이해가 쉽다.)

$$ \gamma(t_1, t_2) = \gamma(t_2-t_1) = \gamma(\tau) $$

: 이는 시간에 따른 분산이 같다는 조건을 포함하는 조건이다. 

Examples

실제 시계열 데이터의 예시를 통해 stationarity 에 대해 더 이해해보려고한다. 

1) White noise 는 stationarity 를 만족한다.

White noise model

$$ X_t \sim N(0, \sigma) $$

White noise model은 시간에 따른 평균이 같다. 

$$ \mu = 0 $$

White noise model은 Auto covariance function 이 time spacing 에만 의존한다.

$$ \gamma(t_1, t_2) = 0, \ when \ t_1 = t_2 $$

$$ \gamma(t_1, t_2) = \sigma^2, \ when \ t_1 \neq t_2 $$

2) Random walk 는 stationarity 를 만족하지 않는다.

Random walk model

아래 식에서 X(t) 를 random walk model 이라고 한다. 

$$ Z_t \sim iid(\mu, \sigma^2) $$

$$ X_t = X_{t-1} + Z_t = \sum^{t}_{i=1}Z_i $$

따라서 Random walk model 의 시간에 따른 평균은 t*mu 이고, 분산은 t*sigma^2 이다. 만약 Z의 평균이 0이라고 가정하더라도 분산이 시간에 따라 점점 커진다는 것을 알 수 있다. 따라서 Random walk model 은 stationarity 를 만족하지 않는다. 

3) Moving average model 는 stationarity 를 만족한다. 

moving average model 

$$ X_t = Z_t + \theta_1 Z_{t-1} + \theta_2 Z_{t-2} ... + \theta_q Z_{t-q} $$

$$ Z_t \sim Normal(\mu, \sigma) $$

moving average 의 parameter q 와 가중치 theta 를 고정해놓고 계산을 하면, 평균과 분산은 t 와는 관계 없이 고정된다는 것을 알 수 있다. 따라서 moving average model 은 stationarity 를 만족한다. 

추가적으로 Moving average model 의 auto covariance function 을 구해보자. 

moving average model 은 stationarity 를 만족하기 때문에 auto covariance function 은 time spacing 에만 의존한다. 또한 이전 포스팅에서 time spacing 이 최대 q 인 경우에만 자기상관성이 존재한다는 것을 correlogram 을 통해 확인할 수 있었다. moving average model 의 노이즈의 평균이 0일 때를 가정하고 covaraicne 를 구해보자.

$$ Z_t \sim Normal(0, \sigma) $$

$$ Cov(X_t, X_{t+k}) = E(X_t X_{t+k}) - E(X_t)E(X_{t+k}) =  E(X_t X_{t+k}) $$

위 기댓값을 정리하면 아래와 같은 식이 된다.

$$ Cov(X_t, X_{t+k}) = E(X_t X_{t+k}) = \sigma^2 \sum_{i=0}^{q-k} \beta_i \beta_{i+k}, \ when \ k \leq q $$

$$ Cov(X_t, X_{t+k}), \ when \ k \gt q $$ 

참고) 위 식의 정리에는 아래 기댓값과 분산의 성질을 이용하면 된다.

$$ V(X) = E(X^2) - E(X)^2 $$

$$ E(XY) = E(X)E(Y), \ when \ X, \  Y \ is \ independent $$ 

Moving average process

특정 시점 t에서의 주가를 X_t 라고하자. 또한 특정 시점 t 에서의 회사의 공지 Z_t (noise) 가 주가에 영향을 미친다고 하자. 그런데 과거 시점 (t-1, t-2...) 에 회사의 공지도 주가에 영향을 미친다. 이런 경우에 X_t 를 다음과 같이 모델링할 수 있다.

$$ X_t = Z_t + \theta_1 Z_{t-1} + \theta_2 Z_{t-2} ... + \theta_q Z_{t-q} $$

$$ Z_t \sim Normal(\mu, \sigma) $$

이 때, q는 어떤 시점의 noise 까지 현재값에 영향을 미치는지를 의미하며, MA(2) 는 이와 같이 정의된다. 

MA(2) Process

$$ X_t = Z_t + \theta_1 Z_{t-1} + \theta_2 Z_{t-2} $$

$$ Z_t \sim Normal(\mu, \sigma) $$

MA(2) process 의 예를 들면 아래와 같다. 

$$ X_t = Z_t + 0.7 Z_{t-1} + 0.2 Z_{t-2} $$

MA(2) simulation

위에 예시로 든 MA(2) process 를 R 을 통해 simulation 해보자.

# noise 생성
noise <-rnorm(10000)

ma_2 = NULL

# ma(2) 생성을 위한 loop
for (i in 3:10000) {
  ma_2[i] = noise[i] + 0.7*noise[i-1]+0.2*noise[i-2]
}

# shift 
moving_average_process <- ma_2[3:10000]
moving_average_process <- ts(moving_average_process)

par(mfrow=c(2,1))

plot(moving_average_process, main = "A moving average process of order 2", ylab = "")
acf(moving_average_process, main = "Correlogram of ma (2)", ylab = "")

correlogram 을 보면 time step 이 0,1,2 인 경우에만 상관성이 있는 것을 확인할 수 있다. 우선, time step 이 0 인 경우는 항상 auto correlation coef 1이다. 또한 현재값에는 최대 2 time step 전의 noise 까지 반영이 되기 때문에, 최대 2 time step 의 값과 상관성이 있다는 것을 확인할 수 있따. 

Random walk model

아래와 같이 정의되는 X_t 를 random walk 이라고 한다. X_t 는 이전 time step 에서의 값 X_t-1 에 noise Z가 더해진 값이다. random sampling 과 다른점은 현재값이 이전값에 더해진다는것이다. 이는 랜덤하게 어떤 한 방향으로 걷는것과 비슷하다. 매번 시작점에서 한발짝 걷는 것이 아니라 한발짝 걸어서 도착한 곳에서 다시 한발짝을 간다. 

$$ X_t = X_{t-1} + Z_t $$

$$ Z_t \sim Normal(\mu, \sigma) $$

이러한 random walk 모델에서 X_t 는 이전 time step 에서의 값 X_t-1 과 매우 큰 연관성을 갖는다. 따라서 non-stationary time series 데이터이다. 

Random walk model simulation in R

R 로 random walk 모델을 만들어보자. 아래는 1000개의 random walk 데이터를 생성하는 예제이다. 시계열 그래프를 그려보면, 이 데이터는 non-stationary time series 데이터라는 것을 확인할 수 있다. 구간을 나눠서보면 트렌드를 보이기 때문이다. 

x <- NULL
x[1] <- 0
for(i in 2:1000){
  x[i] <- x[i-1]+rnorm(1)
}

random_walk <- ts(x)
plot(random_walk, main="A random walk", ylab="", xlab=" Days", col="black")

random walk 데이터에서 correlogram 을 그려보자. 인접한 time step 에서 auto correlation coefficient 가 큰 패턴을 보이기 때문에 non-stationary time series 라는 것을 다시 확인할 수 있다. 

acf_result <- acf(random_walk)

random walk 모델에서 noise Z는 stationary time series 라고 볼 수 있다. 

$$ Z_t \sim Normal(\mu, \sigma) $$

noise 가 stationary time series 라는 것을 데이터로 실제로 확인해보자. 

random_walk_diff <- diff(random_walk)
plot(random_walk_diff, main="A random walk diff", ylab="", xlab=" Days", col="black")

참고자료

https://people.duke.edu/~rnau/411rand.htm

Auto correlation coefficient 

앞선 포스팅에서 auto covariance coefficient 에 대해 설명하였다. auto covariance coefficient 은 time series 데이터에서의 각각의 time point 간 연관성을 의미하는데, stationary time series 에서는 k 라고하는 parameter 에 의해 달라진다. auto covariance coefficient 의 추정값 c_k 는 아래와 같이 계산된다. 

$$ c_k = \frac{\sum^{N-k}_{t=1}(x_t - \bar{x})(x_{t+k}-\bar{x})} {N-k} $$

이번에는 auto correlation coefficient 에 대해 정리해보려고 한다. auto correlation coefficient 도 auto covariance coefficient 와 마찬가지로 time series 데이터에서 time step 별 값의 연관성을 의미하는데 범위를 -1~1로 조정한 것으로 이해할 수 있다. 마치 공분산과 상관계수의 관계와 같다.

auto correlation coefficient 의 계산식은 아래와 같다. 

$$ -1 \leq \rho_k = \frac{\gamma_k}{\gamma_0} \leq 1 $$

이 때, rho_k 의 추정값 r_k 는 아래와 같다. c0 는 time step (=lag) 이 0일 때의 auto covariance coefficient 로 이는 분산과 같다.  

$$ \rho_k \sim r_k = \frac{c_k}{c_0} $$

$$ c_0 = \frac{\sum^{N}_{t=1}(x_t-\bar{x})^2}{N}  $$

Correlogram

rho_k 의 추정값을 k 에 따라 구한 뒤, 이를 시각화해서 표현한 것을 correlogram 이라고 한다. 이 때, rho_0 은 항상 1이다. (자기 자신과의 연관성이기 때문이다.) 

$$ r_0 = \frac{c_0}{c_0} , r_1 = \frac{c_1}{c_0} ... $$ 

R 에서 correlogram 은 acf 함수를 통해 쉽게 그려볼 수 있다.

예제 1)

아래 R 코드는 100개의 표준정규분포를 따르는 데이터를 만든 후, correlogram 을 그리는 코드이다. 파란선은 연관성이 유의한지에 대한 임계치를 의미한다. 유의한 데이터 포인트가 하나 밖에 없고, lag 에 따른 패턴이 보이지 않으므로, 전체적으로 시계열 데이터가 자기상관성이 없다고 결론 내릴 수 있다.  

purely_random_process <- ts(rnorm(100))
print(purely_random_process)
plot(purely_random_process)

auto_correlation_coef_by_lags <- acf(purely_random_process)
print(auto_correlation_coef_by_lags)

예제 2)

실제 데이터를 correlogram 을 그려보자. 다음은 모 어플리케이션의 월간 활성 이용자수 (MAU, monthly active user) 추이이다. 이 서비스는 점점 성장하는 추이를 보여주고 있다. 시계열 데이터의 관점에서는 시간에 따른 평균의 변화 (trend) 를 보이는 non-stationary time series 이다. 

위 데이터에서 correlogram 을 그리면 아래와 같이 나타난다. lag 에 따른 auto correlation coef 의 패턴이 보이며 (점점 감소), 인접한 데이터 포인트에서는 유의한 상관성을 보이고 있는 것을 확인할 수 있다. 

Time series data (시계열 데이터) 

어떤 종류의 데이터이든 상관 없으며, 그저 시간에 따라 수집된 데이터를 시계열 데이터 (timeseries data) 라고 한다. 

예를 들어, 일별 코로나 확진자수는 1일이라고 하는 time step 으로 수집된 시계열 데이터의 한 종류이다. 

Week stationary time series 

week stationary time series 란 다음의 조건을 만족한다. 

1) 시간에 따른 평균 (mean) 에 변화가 없다. 

2) 시간에 따른 분산 (variance) 의 변화가 없다. 

3) 주기적인 등락 (flucation) 이 없다.

이러한 조건을 만족하긴 위해서는 time series 의 한 섹션 (A 섹션) 고른 후, 다른 섹션 (B 섹션) 을 골랐을 때, A, B 섹션이 비슷하면 된다. 

Stochastic process

random variable 의 collection - X1,X2,X3 .. 가 있다고 하자. 이들이 각각 다른 모수를 가진 분포를 따를 때, 이를 stochastic process 라고 한다. stochastic process 의 반대개념은 deterministic process 이다. deterministic process 는 모든 step (t) 에 대해서 예측 가능하다. 예를 들어, 어떤 함수에 대한 미분함수는 특정 X 에서의 Y 값을 정확하게 알 수 있다. 이와 반대로 stochastic process 는 매 step 이 random 이기 때문에 어떤 확률 분포에서 왔다는 것만을 알 수 있을 뿐, 값을 정확하게 예측할 수 없다.

$$ X_t \sim distribution(\mu_t, \sigma_t) $$

예를 들어, 다음과 같은 시계열 데이터가 있다고 해보자. 

$$ X_1 = 30, X_2 = 29, X_3 = 57 ... $$ 

시계열 데이터를 바라보는 한 가지 관점은 stochastic process 의 실현 (realization) 으로 보는것이다. 매 timestep 별로 어떤 확률 변수가 정해지고 우리는 그 확률변수에서 나온 하나의 샘플값을 관찰하는 것이다. 

Autocovariance function

stationary time series 라는 가정을 하자. 두 가지 timestep s,t 에서의 covariance 를 정의해볼 수 있다. (확률 변수이기 때문)

$$ \gamma(s,t) = Cov(X_s, X_t) $$

$$ \gamma(s,s) = Var(X_s)   $$  

또한 아래처럼 covariance function 을 정의할 수 있는데, 이 함수는 stationary time series 라는 가정 하에 t 에 따라서는 값이 바뀌지 않으며, k가 결정하는 함수가 된다. (아래 식에서 c 는 추정값이다.) 이러한 time step (k) 에 따른 공분산의 식을  autocovariance function  이라고 한다. 

$$ \gamma_k = \gamma(t, t+k) \sim c_k $$ 

즉, stationary time series 에서는 Cov(X1, X2) 나 Cov(X10,X11) 이나 기댓값은 같다고 할 수 있다. 그 이유는 데이터에서 두 가지 섹션을 선택했을 때, 그 모습이 똑같다고 기대하는것이 stationary time series 이기 때문이다.  

또한 gamma(t_k, t) 는 autocovariance coefficient 라고 하며, stochastic process 에서의 실제 autocovariance 값이다. 데이터를 통해 구한 c_k 를 통해 autocovariance coefficient 를 추정한다. 

Autocovariance coefficient

그러면 Autocovariance coefficient 의 추정값은 어떻게 구할까? timestep 을 k 라고 할 때, 추정값은 아래와 같다. 

$$ c_k = \frac{\sum^{N-k}_{t=1}(x_t - \bar{x})(x_{t+k}-\bar{x})} {N} $$

이는 time series 데이터에서 k time step 만큼 차이나는 점들의 묶음 (x_t, x) 을 확률 변수의 관찰값으로 놓고 추정한 covariance 와 같다.

참고로 확률 변수 X,Y 의 covariance 의 추정값은 아래와 같이 구할 수 있다. 

$$ s_{xy} =  \frac{\sum^{N}_{t=1}(x_t - \bar{x})(y_t-\bar{y})} {N-1} $$

R 에서는 acf 함수를 통해 auto covariance coefficient 추정값을 계산할 수 있다. 

purely_random_process <- ts(rnorm(100))
print(purely_random_process)
plot(purely_random_process)

auto_covariance_coef_by_lags <- acf(purely_random_process, type = "covariance")
print(auto_covariance_coef_by_lags)